已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3． （1）求证：AF=DF； （2）求∠AED的余弦值； （3）如果BD=
问题描述：
已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．
（1）求证：AF=DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求△ABC的面积．
答
（1）证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠CAE
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B
∴∠ADE=∠DAE
∴EA=ED
∵DE是半圆C的直径
∴∠DFE=90°
∴AF=DF（2分）
（2）连接DM
∵DE是半圆C的直径
∴∠DME=90°
∵FE：FD=4：3
∴可设FE=4x，则FD=3x
∴DE=5x
∴AE=DE=5x，AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x（3x+3x）=AM•5x
∴AM=
x18 5
∴ME=AE-AM=5x-
x=18 5
x7 5
在Rt△DME中，cos∠AED=
＝ME DE
＝
x7 5 5x
（5分）7 25
（3）过A点作AN⊥BE于N
∵cos∠AED=
7 25
∴sin∠AED=
24 25
∴AN=
AE=24 25
x24 5
在△CAE和△ABE中
∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA
∴△CAE∽△ABE
∴
＝AE BE
CE AE
∴AE2=BE•CE
∴（5x）2=（10+5x）•
x5 2
∴x=2
∴AN=
x=24 5
48 5
∴BC=BD+DC=10+
×2=155 2
∴S△ABC=
BC•AN=1 2
×15×1 2
=72（8分）．48 5