函数极限证明题证明函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在并且相等

不知道你看的书上对函数极限是怎么理解的，现在按我的理解证明一下：
f(x)当x→x0时极限存在

对任意数列 {a[n]}，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等
f(x)当x→x0左极限存在

对任意数列 {a[n]}，a[n] 数列{f(a[n])}极限都存在并且相等
f(x)当x→x0右极限存在

对任意数列 {a[n]}，a[n] > x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等
证明：
(i)
函数f(x)当x→x0时极限存在 => 左极限和右极限各自存在并且相等
显然（分别取小于x0和大于x0的数列就行了，他们的函数值极限都存在且相等）
(ii)
任取一数列{a[n]}，满足lim a[n] = x0.
把{a[n]}中大于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{b[n]}，
则有lim b[n] = x0，因为f(x)右极限存在，所以数列{f(b[n])}极限存且为定值；
把{a[n]}中小于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{c[n]}，
则有lim c[n] = x0，因为f(x)左极限存在，所以数列{f(c[n])}极限存且为定值。
若上述只有一个为无限项，则f(a[n])的极限即为该子列的极限。
若两个都有无限项，则由“左极限和右极限相等”得lim f(b[n]) = lim f(c[n])，所以lim f(a[n])存在且 = lim f(b[n]) = lim f(c[n]).
所以f(a[n])的极限始终存在且为定值。
所以f(x)当x→x0时极限存在。
证完
写的不是很完整，差不多这个意思了。

这就是极限存在的定义。

按照严格的极限定义证明如下
证明
x趋于x0时f(x)极限存在等价于,对于任意给出的一个正数ε,总存在一个正数δ,使得当x满足
|x-x0|