椭圆 x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[π12，π4]，则椭圆的离心率的取值范围为 ___ ．
问题描述：
椭圆
+x2 a2
=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[y2 b2
，π 12
]，则椭圆的离心率的取值范围为 ___ ．π 4
答
知识点：本题主要考查了椭圆的性质．解题时要特别利用好椭圆的定义．
∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴
=c a
1 sinα+cosα
即e=
=1 sinα+cosα
1
(sin(α+
2
)π 4
∵a∈[
，π 12
]，π 4
∴
≤α+π/4≤π 3
π 2
∴
≤sin（α+
3
2
）≤1π 4
∴
≤e≤
2
2
6
3
故答案为[
，
2
2
]
6
3
答案解析：设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出
即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．c a
考试点：椭圆的简单性质．
知识点：本题主要考查了椭圆的性质．解题时要特别利用好椭圆的定义．