设函数f（x）=exa+aex，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且a＞0．（1）求a的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．
问题描述：
设函数f（x）=
+ex a
，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且a＞0．a ex
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．
答
解 （1）∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-1）=f（1），∴e−1a+ae−1=ea+ae，即 e−1a+ae−1=ea+ae，即1ae-ae=ea-ae．∴1e(1a−a)=e（1a−a），∴1a-a=0，∴a2=1．又a＞0，∴a=1．（2）由上可得f（x）=ex+e-x．...
答案解析：（1）由f（x）是R上的偶函数，可得f（-1）=f（1），即
+e−1 a
=a e−1
+e a
，化简得 a e
(1 e
−a)=e（1 a
−a），故有1 a
-a=0，a2=1．再由a＞0求得a的值．1 a
（2）由f（x）=ex+e-x，可得函数f（x）的导数f′（x）=ex-
，根据当x＞0时，ex＞1，可得f′（x）＞0，从而得到f（x）在（0，+∞）上为增函数．1 ex
考试点：指数函数综合题．
知识点：本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．