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数列{an}中，a1＝52，an+1＝a2n2(an−1)（n∈N+），用数学归纳法证明：an＞2(n∈N+)．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 21:40:22

问题描述：

数列{a_n}中，a1＝

5

2

，an+1＝

a

2

n

2(an−1)

（n∈N⁺），用数学归纳法证明：an＞2(n∈N+)．

答

证明：（1）当n=1时，a₁=

5

2

＞2，不等式成立．
（2）假设当n=k时不等式成立，即a_k＞2（k∈N^*），
则当n=k+1时，
a_k+1-2=

a

2

k

2(ak−1)

-2=

(ak−2)2

2(ak−1)

＞0，
∴a_k+1＞2．
∴当n=k+1时，不等式也成立
综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立．
答案解析：（1）当n=1时，易求a₁=

5

2

＞2，不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即a_k＞2（k∈N^*），去推证当n=k+1时，a_k+1＞2即可．
考试点：数学归纳法；数列递推式．

知识点：本题考查数列递推式，着重考查数学归纳法的应用，考查推理、论证能力，属于中档题．