数列{an}中,a1=5/2,an+1=a2n2(an−1)(n∈N+),用数学归纳法证明:an>2(n∈N+).
问题描述:
数列{an}中,a1=
,an+1=5 2
(n∈N+),用数学归纳法证明:an>2(n∈N+).
a
2n
2(an−1)
答
证明:(1)当n=1时,a1=
>2,不等式成立.5 2
(2)假设当n=k时不等式成立,即ak>2(k∈N*),
则当n=k+1时,
ak+1-2=
-2=
a
2k
2(ak−1)
>0,(ak−2)2 2(ak−1)
∴ak+1>2.
∴当n=k+1时,不等式也成立
综合(1)(2),不等式对所有正整数都成立.