边长为a的正三角形ABC,A,B分别在直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,求OC长的最大值.

问题描述:

边长为a的正三角形ABC,A,B分别在直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,求OC长的最大值.
能否将余弦定理推证一下,若能推证再送50分。

设A、B分别为(x,0),(0,y)
则有:OA=x ; OB=y ; x^2+y^2=a^2
由图象可知:sinOAB=y/a
cosOAB=x/a
OAC=OAB+60
由余弦定理可知:OC^2=OA^2+AC^2-2OA*AC*cosOAC
则有:OC^2=x^2+a^2-2axcos(OAB+60)
=x^2+a^2-2ax(cosOABcos60-sinOABsin60)
=x^2+a^2-2ax(1/2cosOAB-根号3/2sinOAB)
=x^2+a^2-2ax(x/2a-根号3y/2a)
=x^2+a^2-x^2+根号3xy
=a^2+根号3xy
a为定值,a^2为定值,所以当xy最大时,OC^2取得最大值,即OC取得最大值
又 x^2+y^2=a^2,由均值不等式可知:x^2+y^2>=2xy,当且仅当x=y时取等号
所以:xy