如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点
问题描述：
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．
（1）P点的坐标为______（用含t的代数式表示）；
（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜4）；
（3）当t=______秒时，S有最大值，最大值是______；
（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．
答
（1）（4-t，
）；3t 4
（2）S=-
t2+3 8
t（0＜t＜4）；3 2
（3）由（2）知：S=-
t2+3 8
t=-3 2
（t-2）2+3 8
，3 2
因此当t=2时，Smax=
；3 2
（4）由（3）知，当S有最大值时，t=2，此时N在BC的中点处，如图，
设Q（0，y），
∵△AOQ是直角三角形，
∴AQ2=16+y2，QN2=4+（3-y）2，AN2=13，
∵△QAN为等腰三角形，
①若AQ=AN，此时方程无解，
②若AQ=QN，解得y=−
，1 2
③若QN=AN，解得y1=0，y2=6，
∴Q1（0，−
），Q2（0，0），Q3（0，6），1 2
当Q为（0，−
），直线AQ的解析式为y=1 2
−x 8
，1 2
当Q为（0，0）时，A（4，0）、Q（0，0）均在x轴上，
直线AQ的解析式为y=0（或直线为x轴），
当Q为（0，6）时，Q、N、A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去，
故直线AQ的解析式为y=
−x 8
或y=0．1 2