如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠CAB=3/5，AA1=4，点D是AB的中点． （1）求证：AC⊥BC1 （2）求证：AC1∥平面CDB1 （3）求三棱锥 A1-B1CD的体积．
问题描述：
如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠CAB=
，AA1=4，点D是AB的中点．3 5
（1）求证：AC⊥BC1
（2）求证：AC1∥平面CDB1
（3）求三棱锥 A1-B1CD的体积．
答
（1）证明：在△ABC中，由余弦定理得BC=4，∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC1⊥面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，∴AC⊥面BCC1∴AC⊥BC1．
（2）证明：设B1C交BC1于点E，则E为BC1的中点，连接DE，则DE为△ABC1的中位线，
则在△ABC1中，DE∥AC1，又DE⊂面CDB1，则AC1∥面B1CD．
（3）在△ABC中过C作CF⊥AB垂足为F，
由面ABB1A1⊥面ABC知，CF⊥面ABB1A1，∴VA1−B1CD＝VC−A1DB1．
而S△DA1B1＝
A1B1•AA1＝5×4×1 2
＝10，1 2
，
CF＝
＝AC•BC AB
＝3×4 5
12 5
∴
．
VA1−B1CD＝
×10×1 3
＝812 5