如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=3/5．（1）求证：BC⊥AC1；（2）若D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1．

分类: 作业答案 • 2022-03-25 18:59:39

问题描述：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=

．

（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．

答

证明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，
cos∠BAC=

，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•
cos∠BAC=25+9-2×5×3×

=16．
∴BC=4，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AC₁⊂平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．

（2）连接BC₁交B₁C于M，则M为BC₁的中点，
连接DM，则DM∥AC₁，
∵DM⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=3/5． （1）求证：BC⊥AC1； （2）若D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1．