直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,D为AB的中点. (1)求证:AC1∥平面CDB1; (2)求三棱锥C-B1BD的体积.

问题描述:

直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,D为AB的中点.

(1)求证:AC1∥平面CDB1
(2)求三棱锥C-B1BD的体积.

(1)证明:设BC1与CB1交于点O,则O为BC1的中点.
在△ABC1中,连接OD,D,O分别为AB,BC1的中点,
故OD为△ABC1的中位线,∴OD∥AC1
又AC1⊄平面CDB1,OD⊂平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1
(2)V=

1
3
S△BCD•BB1
=
1
3
×
1
2
S△ABCBB1
=
1
6
×
1
2
AC•BC•BB1
=
1
12
×3×4×4=4