线代题：A的伴随矩阵等于A的转置矩阵,如何证明A是可逆矩阵?
问题描述：
线代题：A的伴随矩阵等于A的转置矩阵,如何证明A是可逆矩阵?
答
条件应该有A ≠ 0吧.
n = 2时,设A =
a b
c d
则伴随矩阵A* =
d -b
-c a
由转置A‘ = A*得a = d,b = -c.
当讨论限制为实矩阵,行列式|A| = a²+b² > 0,A可逆.
复矩阵时有反例:
1 i
-i 1
n > 2时,无论在哪个域上,命题总是成立的,证明如下.
若A的秩r(A) 若r(A) = n-1,由AA* = |A|·E = 0,及不等式r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*),有r(A*) ≤ 1 于是r(A)