设A是n阶可逆实数矩阵,证明A(AT)的特征根大于0.AT是A的转置矩阵

分类: 作业答案 • 2023-01-12 07:39:52

问题描述：

设A是n阶可逆实数矩阵,证明A(AT)的特征根大于0.AT是A的转置矩阵
设A是n阶可逆实数矩阵,证明A(AT)的特征根大于0.
AT是A的转置矩阵

答

就是证明AA^T是正定阵即可.
因为对任意的n维列向量x,有x^T(AA^T)x=(A^Tx)^T(A^Tx)>=0,
且等号成立的充要条件是A^Tx=0,而A可逆,即A^T可逆,因此
等号成立的充要条件是x＝0,故AA^T正定,特征根均大于0.