三角形中位线性质

中位线
1.中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段,而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．
2.中位线定理：
(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半．
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
例1 如图2-53所示．△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面积．
分析 由条件知,EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．
解 由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是△ABD的一条中位线,所以
由条件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米),
从而 AD=8(厘米),
由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是△ABC的一条中位线,所以
BC=2EG=2×6=12(厘米),
显然,AD是BC上的高,所以
例2 如图 2-54 所示．△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H．
(1)求证：GH‖BC；
(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH．
分析 若延长AG,设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG,从而G是AM的中点；同样,延长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是△AMN的中位线,所以GH‖BC,进而,利用△ABC的三边长可求出GH的长度．
(1)证 分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以
△ABG≌△MBG(ASA)．
从而,G是AM的中点．同理可证
△ACH≌△NCH(ASA),
从而,H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线,从而,HG‖MN,即
HG‖BC．
(2)解 由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以
AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米,所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米),
MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
从而
MN=18-4-9=5(厘米),
说明 (1)在本题证明过程中,我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,则这条平分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等腰三角形,这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．
(3)从本题的证明过程中,我们得到启发：若将条件“∠B,∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图2-56所示),其余条件不变,那么,结论GH‖BC仍然成立．同学们也不妨试证．
例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点,四边形BCPQ是平行四边形,A′,B′,C′,D′分别是AP,PB,BQ,QA的中点．求证：A′C′=B′D′．
分析 由于A′,B′,C′,D′分别是四边形APBQ的四条边AP,PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形,A′C′与B′D′则是它的对角线,从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点．
证 连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,这四条线段依次是△APB,△BPQ,△AQB,△APQ的中位线．从而
A′B′‖AB,B′C′‖PQ,
C′D′‖AB,D′A′‖PQ,
所以,A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形,PCBQ是平行四边形,所以
AB⊥BC,BC‖PQ．
从而
AB⊥PQ,
所以 A′B′⊥B′C′,
所以四边形A′B′C′D′是矩形,所以
A′C′=B′D′． ①
说明 在解题过程中,人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验,对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结,积累经验,对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．
例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中,CD＞AB,E,F分别是AC,BD的中点．求证：
分析 在多边形的不等关系中,容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线,为此,取AD中点．
证 取AD中点G,连接EG,FG,在△ACD中,EG是它的中位线(已知E是AC的中点),所以
同理,由F,G分别是BD和AD的中点,从而,FG是△ABD的中位线,所以
在△EFG中,
EF＞EG-FG． ③
由①,②,③
例5 如图2-59所示．梯形ABCD中,AB‖CD,E为BC的中点,AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．
分析 本题等价于证明△AED是直角三角形,其中∠AED=90°．
在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下,添梯形的中位线作为辅助线,若能证明,该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半,则问题获解．
证 取梯形另一腰AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,所以
因为AD=AB+CD,所以
从而
∠1=∠2,∠3=∠4,
所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而
∠AED=∠2+∠3=90°,
所以 DE⊥AE．
例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l,D,E,F分别是三边的中点,AA1,FF1,DD1,EE1都垂直l于A1,F1,D1,E1．求证：
AA1+EE1=FF1+DD1．
分析 显然ADEF是平行四边形,对角线的交点O平分这两条对角线,OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．
证 连接EF,EA,ED．由中位线定理知,EF‖AD,DE‖AF,所以ADEF是平行四边形,它的对角线AE,DF互相平分,设它们交于O,作OO1⊥l于O1,则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线,所以
即 AA1+EE1=FF1+DD1．
练习十四
1．已知△ABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,AE=2CE,CD,BE交于O点,OE=2厘米．求BO的长．
2．已知△ABC中,BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,AH⊥BD于H,AF⊥CE于F．若AB=14厘米,AC=8厘米,BC=18厘米,求FH的长．
3．已知在△ABC中,AB＞AC,AD⊥BC于D,E,F,G分别是AB,BC,AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．
4．如图2-61所示．在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是CD,AB的中点,延长AD,BC,分别交FE的延长线于H,G．求证：∠AHF=∠BGF．
5．在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．
6．如图2-63所示．D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于P,Q．求证：AP=AQ．
7．已知在四边形ABCD中,AD＞BC,E,F分别是AB,CD