在三棱锥ABCD中,AB垂直CD,AD垂直BC,H是底面三角形BCD的垂心.求证:AH垂直平面BCDA为顶点。
问题描述：
在三棱锥ABCD中,AB垂直CD,AD垂直BC,H是底面三角形BCD的垂心.求证:AH垂直平面BCD
A为顶点。
答
证明:连接BH,交DC于E,则BE为三角形BCD中边CD上的高,故CD垂直于BE,又由假设:CD垂直于AB.故CD垂直于AB,BE所决定的平面ABE,并因此知CD垂直于该平面上的直线AH.
再连接DH,交BC于F,同理可证BC垂直于AH.
由此:AH垂直于平面BCD上的两条相交直线BC,CD
故知AH垂直于平面BCD.
答
证明：∵AB⊥ CD,BH ⊥CD,∴ CD ⊥面ABH,CD ⊥AH.
∵AD⊥ BC,DH ⊥BC,∴BC ⊥面ADH,BC⊥ AH.
由上可得AH ⊥面 BCD.