已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（ ） A.（22，2） B.（12，4） C.（1，2）
问题描述：
已知函数f（x）=
x3+1 3
ax2+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（ ）1 2
A. （
，2）
2
2
B. （
，4）1 2
C. （1，2）
D. （1，4）
答
∵f（x）=
x3+1 3
a x2+2bx+c1 2
∴f′（x）=x2+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值
∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即
0
b＞0 a+2b+1＜ a+b+2＞0
（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方，
由图知（-3，0）到直线a+b+2=0的距离
，平方为
2
2
为最小值，1 2
由
得（-3，1）
a+2b+1＝0 a+b+2＝0
（-3，0）与（-3，1）的距离为1，
（-3，0）与（-1，0）的距离2，
所以z=（a+3）2+b2的取值范围为（
，4）1 2
故选项为B