在R上可导的函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值.当x∈（1，2）时取得极小值，则b−2a−1的取值范围是（ ）A. (14，1)B. (12，1)C. (−12，14)D. (14，12)
问题描述：
在R上可导的函数f（x）=
x3+1 3
ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值.当x∈（1，2）时取得极小值，则1 2
的取值范围是（ ）b−2 a−1
A. (
，1)1 4
B. (
，1)1 2
C. (−
，1 2
)1 4
D. (
，1 4
) 1 2
答
∵f（x）=
x3+1 3
ax2+2bx+c，∴f′（x）=x2+ax+2b，1 2
设x2+ax+2b=（x-x1）（x-x2），（x1＜x2）
则x1+x2=-a，x1x2=2b，
因为函数f（x）当x∈（0，1）时取得极大值，x∈（1，2）时取得极小值
∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2，-3＜a＜-1，0＜b＜1．∴-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2，
∴
＜1 4
＜1，b−2 a−1
故选A．
答案解析：由题意知f′（x）=x2+ax+2b，结合题设条件由此可以导出
的取值范围．b−2 a−1
考试点：极限及其运算．
知识点：本题考查导数和导数的应用，解题时要注意等价命题的合理转换．