在R上可导的函数f(x)=13x3+12ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值.当x∈(1,2)时取得极小值,则b−2a−1的取值范围是(  ) A.(14,1) B.(12,1) C.(−12,14) D.(14,12)

问题描述:

在R上可导的函数f(x)=

1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值.当x∈(1,2)时取得极小值,则
b−2
a−1
的取值范围是(  )
A. (
1
4
,1)

B. (
1
2
,1)

C. (−
1
2
1
4
)

D. (
1
4
1
2
)

∵f(x)=

1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c,∴f′(x)=x2+ax+2b,
设x2+ax+2b=(x-x1)(x-x2),(x1<x2
则x1+x2=-a,x1x2=2b,
因为函数f(x)当x∈(0,1)时取得极大值,x∈(1,2)时取得极小值
∴0<x1<1,1<x2<2,
∴1<-a<3,0<2b<2,-3<a<-1,0<b<1.∴-2<b-2<-1,-4<a-1<-2,
1
4
b−2
a−1
<1

故选A.