在R上可导的函数f(x)=13x3+12ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值.当x∈(1,2)时取得极小值,则b−2a−1的取值范围是( ) A.(14,1) B.(12,1) C.(−12,14) D.(14,12)
问题描述:
在R上可导的函数f(x)=
x3+1 3
ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值.当x∈(1,2)时取得极小值,则1 2
的取值范围是( )b−2 a−1
A. (
,1)1 4
B. (
,1)1 2
C. (−
,1 2
)1 4
D. (
,1 4
) 1 2
答
∵f(x)=
x3+1 3
ax2+2bx+c,∴f′(x)=x2+ax+2b,1 2
设x2+ax+2b=(x-x1)(x-x2),(x1<x2)
则x1+x2=-a,x1x2=2b,
因为函数f(x)当x∈(0,1)时取得极大值,x∈(1,2)时取得极小值
∴0<x1<1,1<x2<2,
∴1<-a<3,0<2b<2,-3<a<-1,0<b<1.∴-2<b-2<-1,-4<a-1<-2,
∴
<1 4
<1,b−2 a−1
故选A.