直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为_.

问题描述:

直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为______.

由题知抛物线焦点为(1,0)
当直线的斜率存在时,设为k,则焦点弦方程为y=k(x-1)
代入抛物线方程得所以k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题意知斜率不等于0,
方程是一个一元二次方程,由韦达定理:
x1+x2=

2k2+4
k2

所以中点横坐标:x=
x1+x2
2
=
k2+2
k2

代入直线方程
中点纵坐标:
y=k(x-1)=
2
k
.即中点为(
k2+2
k2
2
k

消参数k,得其方程为
y2=2x-2
当直线斜率不存在时,直线的中点是(1,0),符合题意,
故答案为:y2=2x-2