若函数f(x)=13x3+x2−ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是(  ) A.(43,3) B.(43,103) C.(43,3] D.(-∞,3]

问题描述:

若函数f(x)=

1
3
x3+x2−ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是(  )
A. (
4
3
,3)
B. (
4
3
10
3

C. (
4
3
,3]
D. (-∞,3]

∵函数f(x)=

1
3
x3+x2−ax在区间(1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)=x2+2x-a在区间(1,+∞)上的值大小或等于0恒成立;
即x2+2x-a≥0在区间(1,+∞)上恒成立,
∴a≤x2+2x,x∈(1,+∞)恒成立.
∵当x>1时,x2+2x>3,
∴a≤3;①
∵函数f(x)=
1
3
x3+x2−ax
在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,
∴f(1)<0,f(2)>0,
4
3
<a<
10
3
;②
由①、②得:
4
3
<a≤3

故选:C