若函数f(x)=13x3+x2−ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是( ) A.(43,3) B.(43,103) C.(43,3] D.(-∞,3]
问题描述:
若函数f(x)=
x3+x2−ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是( )1 3
A. (
,3)4 3
B. (
,4 3
)10 3
C. (
,3]4 3
D. (-∞,3]
答
∵函数f(x)=
x3+x2−ax在区间(1,+∞)上单调递增,1 3
∴f′(x)=x2+2x-a在区间(1,+∞)上的值大小或等于0恒成立;
即x2+2x-a≥0在区间(1,+∞)上恒成立,
∴a≤x2+2x,x∈(1,+∞)恒成立.
∵当x>1时,x2+2x>3,
∴a≤3;①
∵函数f(x)=
x3+x2−ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,1 3
∴f(1)<0,f(2)>0,
∴
<a<4 3
;②10 3
由①、②得:
<a≤3.4 3
故选:C