已知函数f(x)=ax,(x<0)(a−3)x+4a,(x≥0)满足对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立,则实数a的取值范围是( ) A.(3,+∞) B.(0,1) C.(0,14] D.(1,3)
问题描述:
已知函数f(x)=
满足对任意的实数x1≠x2都有
ax,(x<0) (a−3)x+4a,(x≥0)
<0成立,则实数a的取值范围是( )f(x1)−f(x2)
x1−x2
A. (3,+∞)
B. (0,1)
C. (0,
]1 4
D. (1,3)
答
∵f(x)=
,对任意的实数x1≠x2都有
ax(x<0) (a−3)x+4a(x≥0)
<0成立,f(x1)−f(x2)
x1−x2
∴函数f(x)在定义域内单调递减,令g(x)=ax,依题意,f(0)≤g(0),即4a≤1,
∴
,解得0<a≤
0<a<1 a−3<0 4a≤1
.1 4
∴实数a的取值范围是0<a≤
.1 4
故选C.