已知函数f(x)=ax,(x<0)(a−3)x+4a,(x≥0)满足对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立,则实数a的取值范围是(  ) A.(3,+∞) B.(0,1) C.(0,14] D.(1,3)

问题描述:

已知函数f(x)=

ax,(x<0)
(a−3)x+4a,(x≥0)
满足对任意的实数x1≠x2都有
f(x1)−f(x2)
x1x2
<0
成立,则实数a的取值范围是(  )
A. (3,+∞)
B. (0,1)
C. (0,
1
4
]

D. (1,3)

f(x)=

ax(x<0)
(a−3)x+4a(x≥0)
,对任意的实数x1≠x2都有
f(x1)−f(x2)
x1x2
<0
成立,
∴函数f(x)在定义域内单调递减,令g(x)=ax,依题意,f(0)≤g(0),即4a≤1,
0<a<1
a−3<0
4a≤1
,解得0<a≤
1
4

∴实数a的取值范围是0<a≤
1
4

故选C.