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已知函数f（x）=−13x+16，x∈[0，12]2x3x+1，x∈(12，1]，函数g（x）=asin（π6x）-2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　） A.[-23

分类: 作业答案 • 2023-01-12 14:55:49
问题描述：

已知函数f（x）=

−
1
3
x+
1
6
，x∈[0，
1
2
]
2x3
x+1
，x∈(
1
2
，1]
，函数g（x）=asin（
π
6
x）-2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. [-
2
3
，1]
B. [
1
2
，
4
3
]
C. [
4
3
，
3
2
]
D. [
1
3
，2]

答

当x∈[0，

1
2
]时，y=
1
6
-
1
3
x，值域是[0，
1
6
]；
x∈（
1
2
，1]时，y=
2x3
x+1
，y′=
4x3+6x2
(x+1)2
＞0恒成立，故为增函数，值域为（
1
6
，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（
π
6
x）-2a+2（a＞0），
为增函数，值域是[2-2a，2-
3a
2
]，
∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-
3a
2
]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-
3a
2
]=∅，
则2-2a＞1或2-
3a
2
＜0，即a＜
1
2
，或a＞
4
3
．
∴a的取值范围是[
1
2
，
4
3
]．
故选：B．

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