如图,直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点,交双曲线y= 2 x 于点D,过D作两坐标轴的垂线DC、DE,连接OD
问题描述：
如图,直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点,交双曲线y= 2 x 于点D,过D作两坐标轴的垂线DC、DE,连接OD
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0）,求证AD•BD为定值.
（3）是否存在直线AB,使得四边形OBCD为平行四边形?若存在,求出直线的解析式；若不存在,请说明理由．
（4）在（3）中,在y轴上是否存在一点P,使△DOP是以OD为腰的等腰三角形,若存在请写出O点坐标并说明理由,若不存在也请说明理由.
答
（1）A（0,b）,B（-b,0）,则OA=OB=b
故△AOB为等腰直角三角形,∠ABO=45°
在△BED中,∠BDE=180°-∠EBD-∠BED=180°-45°-90°=45°
∠BDE=1/2∠CDE
所以AD平分∠CDE
（2）D点坐标（x,y）同时满足方程y=x+b和xy=2
AD*BD=√2OE*√2BE=2x*（b+x）=2xy=4为定值
（3）假设存在直线AB使得四边形OBCD为平行四边形,需要CD=BO=b
x=b代入方程y=x+b和xy=2,
解得y=2,b=1
所以直线AB为y=x+1
（4）联立y=x+1和xy=2,解得D（1,2）,OD=√[(1-0)^2+(2-0)^2]=√5
1）OD=OP=√5,显然P（0,√5）或（0,-√5）
2）OD=DP=√5,设P（0,y）
PD=√[(1-0)^2+(2-y)^2]=√5,解得y=0（与原点重合,舍去）或y=4
综上,P（0,√5）或（0,-√5）或（0,4）