已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（ ）A. [14，13)B. (0，12)C. (0，14]D. (13，12)
问题描述：
已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A. [
，1 4
)1 3
B. (0，
)1 2
C. (0，
]1 4
D. (
，1 3
) 1 2
答
∵函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，
可得当x∈[-1，0]时，f（x）=x2，故当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）2．
由于函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，故函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，如图所示：
把点（3，1）代入y=kx+k，可得k=
，数形结合可得实数k的取值范围是 （0，1 4
]，1 4
故选C．
答案解析：根据f（x+1）=-f（x），可得f（x）是周期为2的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，可得函数在[-1，3]上的解析式．根据题意可得
函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，数形结合可得实数k的取值范围．
考试点：根的存在性及根的个数判断．
知识点：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．