已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是(  ) A.[14,13) B.(0,12) C

问题描述:

已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是(  )
A. [

1
4
1
3
)
B. (0,
1
2
)

C. (0,
1
4
]

D. (
1
3
1
2
)

∵函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),故有f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为2的周期函数.再由f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2
可得当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,故当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,当x∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2
由于函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,故函数y=f(x)的图象与直线y=kx+k 有4个交点,如图所示:
把点(3,1)代入y=kx+k,可得k=

1
4
,数形结合可得实数k的取值范围是 (0,
1
4
],
故选C.