已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAD；（2）MN⊥CD；（3）当∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．
问题描述：
已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
求证：（1）MN∥平面PAD；
（2）MN⊥CD；
（3）当∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．
答
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点，再取PD的中点Q，连接NQ，则有NQ∥12CD，且NQ=12CD．同理可得 MA∥12CD，且 MA=12CD．∴NQ∥MA，NQ=MA． 故四边形MNQA为平行四边形，∴MN∥PQ．而AQ在...
答案解析：（1）证明取PD的中点Q，连接NQ，证明NQ∥MA，NQ=MA，从而四边形MNQA为平行四边形，MN∥PQ，再根据直线和平面平行的判定定理证得 MN∥平面PAD．
（2）先证明PA⊥CD，CD⊥AD从而证明CD⊥平面PAD．根据AQ在平面PAD内，可得CD⊥AQ，从而CD⊥MN．
（3）证明：当∠PDA=45°时，△PAD为等腰直角三角形，得到AQ⊥PD，再由CD⊥AQ，可得AQ⊥平面PCD，从而得到 MN⊥平面PCD．
考试点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
知识点：本题考查证明线面平行、线线垂直、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定、直线和平面垂直的判定，属于中档题．