如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=2AD=2,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点.(1)求证:MN∥平面PCD;(2)求证:四边形MNCD是直角梯形;(3)求证:DN⊥平面PCB.
问题描述:
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=
AD=2,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点.
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(1)求证:MN∥平面PCD;
(2)求证:四边形MNCD是直角梯形;
(3)求证:DN⊥平面PCB.
答
证明:(1)因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.…(2分)因为CD∥AB,所以MN∥CD.又CD⊂平面PCD,而MN⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD.…(4分)(2)由(1)可得MN∥CD.因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD. ...
答案解析:(1)利用三角形的中位线性质证明MN∥AB,再由已知条件和公理4证明MN∥CD,再利用直线和平面平行
的判定定理证得MN∥平面PCD.
(2)由(1)可得MN∥CD.先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD,从而证得CD⊥MD,从而
得到四边形MNCD是直角梯形.
(3)由条件求得∠PAD=60°,利用勾股定理求得DN⊥CN.在Rt△PDB中,由PD=DB=
,N是PB的中点,
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证得DN⊥PB,再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB.
考试点:直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
知识点:本题主要考查直线和平面平行的判定定理,以及直线和平面垂直的判定定理和性质性质定理的应用,
属于中档题.