在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为AD、AB的中点.求证：EF平行平面CB1D1；平面CAA1C1垂直CB1D1

1.EF一定平行BD,而BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，B1D1属于平面CB1D1，所以EF平行平面CB1D1
2.B1D1⊥A1C1,B1D1⊥CC1，所以B1D1垂直平面CAA1C1，B1D1属于平面CB1D1，所以平面CAA1C1垂直CB1D1

1.证明：E、F分别为AD、AB的中点，EF∥BD，又因B1D1∥BD，所以EF∥B1D1
故 EF平行平面CB1D1
2.由题意可知：平面CAA1C1与CB1D1的交线为CO1（O1为A1C1和B1D1的交点）
△CO1D1≌△CO1B1 ∠CO1B1=90°所以：平面CAA1C1垂直CB1D1

连BD,由三角形中位线定理得EF平行BD…………（1）
四边形BDD1B1中，因为BB1平行且等于DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，
所以BD平行B1D1…………（2）
由（1）、（2）得EF平行B1D1，
EF在平面CB1D1外，
所以EF平行平面CB1D1。
B1D1垂直A1C1(正方形的对角线）…………（3）
又AA1垂直平面A1B1C1D1，所以AA1垂直B1D1…………（4）
由（3）、（4）得B1D1垂直平面CAA1C1，
所以平面CB1D1垂直平面CAA1C1，
即平面CAA1C1垂直CB1D1

(1)EF∥平面CB1D1
连接BD
∵BD∥B1D1
又E、F分别为AD、AB的中点
∴EF是△ABD的中位线
∴EF∥BD
∴EF∥B1D1
又B1D1〔平面CB1D1，EF￠平面CB1D1
∴EF∥平面CB1D1
(2)平面CAA1C1⊥平面CB1D1
易知：AA1⊥平面A1B1C1D1
而B1D1〔平面A1B1C1D1
∴AA1⊥B1D1
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1
∴B1D1⊥平面CAA1C1
又B1D1〔平面CB1D1
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1参考资料：【注】“〔”即符号包含

(1)EF∥平面CB1D1连接BD∵BD∥B1D1又E、F分别为AD、AB的中点∴EF是△ABD的中位线∴EF∥BD∴EF∥B1D1又B1D1〔平面CB1D1,EF￠平面CB1D1∴EF∥平面CB1D1(2)平面CAA1C1⊥平面CB1D1易知：AA1⊥平面A1B1C1D1而B1D1〔平面A1...

EF平行BD平行B1D1，而B1D1在平面CB1D1内
故EF平行平面CB1D1
BD垂直AC，EF平行BD平行B1D1，故B1D1垂直AC
AA1垂直BD，AA1垂直 B1D1
所以B1D1垂直平面CAA1C1
而B1D1在平面CB1D1内
所以平面CAA1C1垂直CB1D1