在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证：EF//平面PAD; (2)求证：平面PAB垂直于平面PCD.
问题描述：
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直
于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证：EF//平面PAD; (2)求证：平面PAB垂直于平面PCD.
答
1、∵E是PC中点,F是AC的中点,
∴EF是△PAC的中位线,
∴EF//PA,
∵PA∈平面PAD,
∴EF//平面PAD,（直线平行于两面内的直线则必平行于该平面）.
2、取AD中点M,连结PM,
PM是△PAD的中线,
∵PA=PD=√2a/2,
∴△PAD是等腰△,
∴PM⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PM⊥平面ABCD,（二平面垂直,若一平面内直线垂直交线,则垂直另一平面）,
∵CD∈平面ABCD,
∴PM⊥CD,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴CD⊥AD,
∵AD∩PM=M,
∴CD⊥平面PAD,
∵PA∈平面PAD,
∴CD⊥PA,
在△PAD中,PA^2+PD^2=a^2/2+a^2/2=a^2,
AD^2=a^2,
∴根据勾股定理逆定理,
△PAD是RT△,
∴PA⊥PD,
∵PD∩CD=D,
∴PA⊥平面PDC,
∵PA∈平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PCD,证毕.