如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD.

问题描述:

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD.

证法一:分别过E、F作EM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,连接MN.
∵BB1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.
∴EM∥BB1,FN∥BB1.∴EM∥FN.
又B1E=C1F,∴EM=FN.
故四边形MNFE是平行四边形.
∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中,
∴EF∥平面ABCD.
证法二:过E作EG∥AB交BB1于点G,连接GF,则

B1E
B1A
=
B1G
B1B

∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴
C1F
C1B
=
B1G
B1B

∴FG∥B1C1∥BC.
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中,
∴EF∥平面ABCD.
答案解析:证法一:根据直线与平面平行的判定定理可知:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么直线和这个平面平行.故只需在平面ABCD中找到与EF平行的直线即可.
证法二:证明一条直线与一个平面平行,除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外,通常还可以通过平面与平面平行进行转化,比如过E作EG∥AB交BB1于点G,连接GF,根据三角形相似比可知:平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中,故可以证得:EF∥平面ABCD.
考试点:直线与平面平行的性质;平面与平面平行的判定;平面与平面平行的性质.
知识点:本题主要考查了空间中的线面关系,三角形相似等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.