如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点． （1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF； （2）设二面角A1-E
问题描述：
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．
（1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；
（2）设二面角A1-ED-A的大小为α，直线AD与平面A1ED所成的角为β，求sin（α+β）的值．
答
（1）证明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°，
△CDE中，∠CED=30°，∴AE⊥ED，
∵AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥ED，
又由AE∩AA1=A，∴ED⊥平面AA1EF，
又∵ED⊂平面A1ED，
∴平面A1ED⊥平面A1AEF．
（2）∵ED⊥平面A1AEF，∴A1E⊥ED，AE⊥ED，
∴∠A1ED为二面角A1-ED-A的平面角，∴∠A1EA=α，
∴sinα=
＝AA1
A1E
，cosα=2
5
5
，
5
5
过A作A1E的垂线，垂足为H，连结HD，
∵ED⊥平面A1AEF，∴ED⊥AH，
∴AH⊥平面A1ED，
∴∠ADH为直线AD与平面A1ED所成的角β，即∠ADH=β，
∴AH=
，sinβ=4
5
5
=cosα，
5
5
∴α+β=90°，
∴sin（α+β）=1．