在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60度,AA1=4,AB=3,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点. ⑴若点E是棱CC1的中点,求证：EF‖平面A1BD ⑵试确定点E的位置,使得A1-BD-E为直二面角,并说明理由.
问题描述：
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60度,AA1=4,AB=3,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点. ⑴若点E是棱CC1的中点,求证：EF‖平面A1BD ⑵试确定点E的位置,使得A1-BD-E为直二面角,并说明理由.
答
如下图所示: (1) ∵ EF∥D1C∥A1B,EF不在面A1BD内,A1B在面A1BD内, ∴ EF∥面A1BD. (2) 设点E位于E',且E'C=a, C1E'=4-a时,使得A1-BD-E为直二面角. △A1BD和△E'BD都是等腰△, AC∩BD=O, ∴ A1O⊥BD,E'O⊥BD,∠A1OE'是直二面角的平面角.由勾股定理,易得 O'E2;=a2;+(27/4),A1O2;=91/4,E'A12;=a2;-8a+43, ∵ O'E2;+A1O2;=E'A12;,于是可得a=27/16