若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ). 用泰勒公式证明麻烦写下详细过程
问题描述：
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ). 用泰勒公式证明麻烦写下详细过程
答
用微分中值定理不行吗?
由f(x)在[0,1]连续, 在(0,1)可导, 且f(0) = f(1).
根据Rolle定理, 存在c∈(0,1), 使f'(c) = 0.
考虑g(x) = f'(x)(x-1)², 有g(x)在[c,1]连续, 在(c,1)可导, 且g(c) = 0 = g(1).
根据Rolle定理, 存在ξ∈(c,1), 使g'(ξ) = 0, 即有f"(ξ)(ξ-1)²+2(ξ-1)f'(ξ) = 0.
而ξ Taylor公式是指带Lagrange余项的Taylor展式吗? 是必须要用吗?
我目前还没有想出来, 毕竟Taylor展式中ξ只出现在一个地方.
其实Taylor展式也是用中值定理证的, 而且中值定理也可以视为一阶的Taylor展式.