一道大一高数,关于罗尔定理,或拉格朗日中值定理.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:在(0,1)内存在一点ε,使得f(ε)+(1-e^(-ε))f’(ε)=0.

问题描述:

一道大一高数,关于罗尔定理,或拉格朗日中值定理.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:在(0,1)内存在一点ε,使得f(ε)+(1-e^(-ε))f’(ε)=0.

F(x)=f(x)(e^x-1)
F(1)=F(0)=0,由罗尔定理,存在c使F'(c)=0,这就是要证的

构造函数g(x)=f(x)【e^x-1】
则g(0)=0 g(1)=0
由罗尔定理,(0,1)内存在ε使得g'(ε)=0