在椭圆x^/25+y^2/9=1上求一点P,使点P与此椭圆的两个焦点的连线互相垂直

若存在这样的p点，可知该点必为一以原点为圆心，以焦距为直径的园与椭圆的焦点，有a^2=25 b^2=9/2.可知c^2=41/2
联立x^2+y^2=41/2与椭圆方程
可求得坐标

C=√(a^-b^)=√(25-9)=4 (^表示平方)
∴F1(-4,0);F2(4,0)
设P点坐标为(X,Y)
则PF1的斜率为k1=(Y-0)/[X-(-4)]=Y/(X-4)
则PF2的斜率为 k2=(Y-0)/(X-4)=Y/(X-4)
∴[Y/(X-4)][Y/(X+4)]=-1
整理得:X^+Y^=16 将椭圆方程化为:9X^+25Y^=175与此联立得:
X^=175/16;Y^=81/16
X=±5√7/4;Y=±9/4
则P点在四个象限的坐标分别为(5√7/4,9/4);(-5√7/4,9/4);(-5√7/4,-9/4)
(5√7/4,-9/4)

因为c^2=25-9=16,所以c=4,两个焦点F1(-4,0）,F2（4,0）
由PF1垂直于PF2得（PF1）^2+(PF2)^2=(F1F2)^2=64,
设P(a,b),则
a^2/25+b^2/9=1
a^2+b^2=16
解得a=(+/-)7/4根号5,b=(+/-)9/4
所以满足条件的P有四个.