若圆C与直线L1:3X-4Y-18=0相切,圆C上的点到直线L2:3X-4Y-3=0的最短距离等于1,(1) 求证:圆C的圆心在一条定直线上(2) 若直线L3:X-Y-3=0与圆C相交所得的弦长等于根号2,求圆C的标准方程
问题描述：
若圆C与直线L1:3X-4Y-18=0相切,圆C上的点到直线L2:3X-4Y-3=0的最短距离等于1,
(1) 求证:圆C的圆心在一条定直线上
(2) 若直线L3:X-Y-3=0与圆C相交所得的弦长等于根号2,求圆C的标准方程
答
圆到直线3x－4y－3=0的最短距离为1,则这个圆与直线是相离的,即圆心到直线的距离为R＋1,而此圆的半径R为圆心到直线3x－4y－18=0的距离.
1、设圆心坐标为M(x,y),则|3x－4y－18|/5＋1=|3x－4y－3|/5,化简得：3x－4y－13=0；
2、由于圆心在直线3x－4y－13=0上,且此圆与直线3x－4y－18=0相切,则圆的半径为这两条平行线之间的距离,所以R=1,而圆与直线x－y－3=0相交的弦长为根号2,则圆心到直线的距离为2分之根号2.根据：①圆心在直线3x－4y－13=0上,②圆心到直线x－y－3=0的距离为2分之根号2,解出圆心为(3,－1)或(－5,－7),所以所求的圆的标准方程是(x－3)²＋(y＋1)²=1或(x＋5)²＋(y＋7)²=1.