已知过点A(0,1)的直线l,斜率为k,与圆C:(x-2)^2+(y-3)^2=1相交于M、N两个不同点.1)求实数k取值范围.2)若O为坐标原点,且向量OM*向量ON=12.求k的值.

问题描述:

已知过点A(0,1)的直线l,斜率为k,与圆C:(x-2)^2+(y-3)^2=1相交于M、N两个不同点.
1)求实数k取值范围.
2)若O为坐标原点,且向量OM*向量ON=12.求k的值.

第一问,用代入法加判别式做也可以,用点到直线的距离来做也可以。
第二问,比较简单,用切割弦定理做就可以。
(1)根据题意可以设l的方程式为y-1=kx,整理得-kx+y-1=0。
圆心坐标为(2,3),半径=1
故,当圆心到直线距离小于1时,直线l与圆有两个不同的交点
|-2k+2|/√k^2+1整理得3K^2-8k+3故K∈((4-√7)/2,(4+√7)/2)
(2)向量OM*向量ON=12,而OC^2=13,r^2=1
所以向量OM*向量ON=OC^2-r^2
根据切割弦定理,得出如下判断:
O、M、N三点一线,或MN为圆的直径
由于l恒过(0,1),所以MN为圆的直径,所以直线l的斜率k=(3-1)/2=1

(1)直线l的方程为y-1=kx,即y=kx+1,带入(x-2)^2+(y-3)^2=1并整理得(k^2+1)x^2-(4+4k)x+7=0,
∴△=[-(4+4k)]^2-4•7•(k^2+1)=-4(3k^2-8k+3)<0,
解得k<三分之(4+√7)或k>三分之(4-√7)
(2) 设M(x,y),N(m,n),
则向量OM=(x,y),向量ON=(m,n)
且x+m=(k^2+1)分之(4+4k),xm=(k^2+1)分之7
∵向量OM*向量ON=xm+ny=12,且ny=(km+1)(kx+1)=(k^2)mx+k(m+x)+1
∴(k^2+1)mx+k(m+x)+1=12即7+(k^2+1)分之(4k+4k^2)+1=12,解得k=1