如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1).若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a=______时,四边形ABDC的周长最短.

问题描述:

如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1).若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a=______时,四边形ABDC的周长最短.

作点A关于x轴的对称点A′,则A′的坐标为(2,3),把A′向右平移3个单位得到点B'(5,3),连接BB′,与x轴交于点D,如图,
∴CA′=CA,
又∵C(a,0),D(a+3,0),
∴CD=3,
∴A′B′∥CD,
∴四边形A′B′DC为平行四边形,
∴CA′=DB′,
∴CA=DB′,
∴AC+BD=BB′,此时AC+BD最小,
而CD与AB的长一定,
∴此时四边形ABDC的周长最短.
设直线BB′的解析式为y=kx+b,
把B(4,-1)、B'(5,3)分别代入得,
4k+b=-1,5k+b=3,
解得k=4,b=-17,
∴直线BB′的解析式为y=4x-17,
令y=0,则4x-17=0,
解得x=

17
4

∴D点坐标为(
17
4
,0),
∴a+3=
17
4

∴a=
5
4

故答案为
5
4

答案解析:作点A关于x轴的对称点A′,则A′的坐标为(2,3),把A′向右平移3个单位得到点B'(5,3),连接BB′,与x轴交于点D,易得四边形A′B′DC为平行四边形,得到CA′=DB′=CA,则AC+BD=BB′,根据两点之间线段最短得到此时AC+BD最小,即四边形ABDC的周长最短.然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=4x-17,易得D点坐标为(
17
4
,0),则有a+3=
17
4
,即可求出a的值.
考试点:轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.
知识点:本题考查了轴对称-最短路线问题:通过对称,把两条线段的和转化为一条线段,利用两点之间线段最短解决问题.也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式.