在RT三角形ABC中,∠C=90° 以C为圆心作弧 切AB于D已知AD=4 BD=1 则图中阴影部分的面积是

问题描述:

在RT三角形ABC中,∠C=90° 以C为圆心作弧 切AB于D已知AD=4 BD=1 则图中阴影部分的面积是

  连 CD.
  ∵ AD=4、 BD=1
  ∴ AB = AD + BD = 4 + 1 = 5
  ∵ 以C为圆心的弧 与 AB 相切 于点D
  ∴ CD ⊥ AB (圆的切线垂直于过切点的半径)
  ∴ ∠BDC = ∠CDA = 90°
  ∵ ∠C=90°
  ∴ ∠B + ∠A = 90° --------------------------------- ①
  ∵ CD ⊥ AB
  ∴ ∠B + ∠BCD = 90° ------------------------------------ ②
  由 ① ② 得: ∠A = ∠BCD
  在 Rt△BCD 和 Rt△CAD 中
  ∠BDC = ∠CDA = 90° (已证)
  ∠A = ∠BCD (已证)
  ∴ Rt△BCD ∽ Rt△CAD
  ∴ BD :CD = CD :AD
  ∴ CD的平方 = BD × AD
  = 1 × 4
  = 4
  ∴ CD = 2
  则 S△ABC = (1/2)× AB × CD
  = (1/2)× 5 × 2
  = 5
  ∵ ∠C = 90°
  ∴ 以C为圆心的弧 与 两直角边(BC、AC)围成的扇形的面积 S扇
  等于 “ 以C为圆心、以CD长为半径的圆的面积 “的四分之一.
  ∴ S扇 = (1/4)× (π × CD的平方)
  = (1/4)× (π × 2的平方)
  = π
  ∴ S阴 = S△ABC -- S扇
  = 5 -- π