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已知向量m＝(3sinx/4，1)，n＝(cosx/4，cos2x/4)，记f(x)＝m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 23:07:15
问题描述：

已知向量

m
＝(
3
sin
x
4
，1)，
n
＝(cos
x
4
，cos2
x
4
)，记f(x)＝
m
•
n
，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

答

因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
所以2sinAcosB=sin（B+C）
因为A+B+C=π
所以sin（B+C）=sinA，且sinA≠0
所以cosB＝

1
2
，B＝
π
3

所以0＜A＜
2π
3

所以
π
6
＜
A
2
+
π
6
＜
π
2
，
1
2
＜sin(
A
2
+
π
6
)＜1
又因为f(x)＝
m
•
n
＝sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2

所以f(A)＝sin(
A
2
+
π
6
)+
1
2

故函数f（A）的取值范围是(1，
3
2
)

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