椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点为A、B、C、D,若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率等于(  ) A.22 B.5+12 C.5−12 D.3−52

问题描述:

椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的四个顶点为A、B、C、D,若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率等于(  )
A.
2
2

B.
5
+1
2

C.
5
−1
2

D.
3−
5
2

根据题意,得四边形ABCD为平行四边形,则其内切圆的圆心为坐标原点;
四边形ABCD的内切圆半径为Rt△AOB中,斜边AB上的高,
根据题意,易得,AO=a,OB=b;
则r=

ab
a2+b2

根据题意,其内切圆恰好过椭圆的焦点,
即c=r=
ab
a2+b2

又由a2=b2+c2
联立可得:e=
c
a
=
5
−1
2

故选C.