椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的倾斜角为30°直线交椭圆于A、B两点,弦长|AB|=8,若三角形ABF2的内切圆的面积为π,则椭圆的离心率为(  ) A.22 B.36 C.12 D.33

问题描述:

椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的倾斜角为30°直线交椭圆于A、B两点,弦长|AB|=8,若三角形ABF2的内切圆的面积为π,则椭圆的离心率为(  )
A.
2
2

B.
3
6

C.
1
2

D.
3
3

直线AB的方程为y=

3
3
(x+c),即x-
3
y+c=0,
F2到直线AB的距离d=
2c
2
=c,三角形ABF2的内切圆的面积为π,则半径为1,
∴由等面积可得
1
2
×8×c=
1
2
×4a×1

∴e=
c
a
=
1
2

故选:C.