已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,A(-a,0),B(0,b)为椭圆的两个顶点,若F到AB的距离等于b7,则椭圆的离心率为(  )A. 7−77B. 7+77C. 12D. 45

问题描述:

已知椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为F,A(-a,0),B(0,b)为椭圆的两个顶点,若F到AB的距离等于
b
7
,则椭圆的离心率为(  )
A.
7−
7
7

B.
7+
7
7

C.
1
2

D.
4
5

由已知,直线AB的方程:

x
−a
+
y
b
=1,即bx-ay+ab=0,左焦点为F(-c,0)
F到AB的距离等于
b
7
,故有
|−bc+ab|
a2+b2
=
b
7
,整理得8e2-14e+5=0,解得e=
1
2
,或e=
5
4
(舍)
故选C.
答案解析:表示出过A(-a,0),B(0,b)的直线的方程,用截距式直接写出,化为一般式,再由点到直线的距离公式利用距离等于
b
7
建立关于a,b的等式,整理变形求离心率.
考试点:点到直线的距离公式;椭圆的简单性质.

知识点:考查直线方程的两点式与点到直线的距离公式,结合椭圆方程的定义变形出离心率e的方程,求离心率.