已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1-an． （1）证明：数列{bn}是等比数列； （2）设数列{nan}的前n项和为Sn，求使Sn+n(n+1)2＞120成立的正整数n的最小值．
问题描述：
已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1-an．
（1）证明：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{nan}的前n项和为Sn，求使Sn+
＞120成立的正整数n的最小值． n(n+1) 2
答
（1）证明：由an+1=2an+1，得an=2an-1+1（n≥2），
两式相减得：（an+1-an）=2（an-an-1）．
∵bn=an+1-an，
∴bn=2bn-1．
又b1=a2-a1=（2a1+1）-a1=a1+1=2．
∴数列{bn}是以2为首项，以2为公比等比数列；
（2）由（1）得bn＝2n，即an+1−an＝2n，
∴an＝a1+(a2−a1)+(a3−a2)+…+(a n−an−1)＝1+2+22+…2n−1＝2n−1，
∴nan＝n•2n−n，
∴Sn＝(1•21−1)+(2•22−1)+…+(n•2n−n)＝(1•21+2•22+…+n•2n)−
，n(n+1) 2
令T=1•21+2•22+…+n•2n ①，
则2T=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1 ②，
①-②得：-T=-2+2n+1-n•2n+1，
∴T=（n-1）•2n+1+2，
∴Sn＝(n−1)•2n+1+2−
，n(n+1) 2
由Sn+
＞120，得（n-1）•2n+1+2＞120，n(n+1) 2
即（n-1）•2n+1＞118，
∵当n∈N+时，（n-1）•2n+1单调递增，
∴正整数n的最小取值为5．