已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，（1）用an表示an+1；（2）证明数列{an+1}是等比数列；（3）求an和Sn．
问题描述：
已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，
（1）用an表示an+1；
（2）证明数列{an+1}是等比数列；
（3）求an和Sn．
答
知识点：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，数列求和，考查变形构造、转化、计算能力．一般的形如an+1=pan+q型递推公式，均可通过两边加上一个合适的常数，变形构造出一个新的等比数列．
（1）由an+1=Sn+（n+1）①
得出n≥2时
an=Sn-1+n ②
①-②得出
an+1-an=an+1
整理an+1=2an+1．（n≥2）
由在①中令n=1得出a2=a1+2=3，满足a2=2a1+1
所以an+1=2an+1．（n≥1）
（2）在an+1=2an+1两边同时加上1得出
an+1+1=2（an+1）
根据等比数列的定义，得出数列{an+1}是以2为公比的等比数列
（3）由（2）数列{an+1} 的通项公式为an+1=2•2 n-1=2n
所以an=2n-1，
Sn=（21-1）+（22-1）+…（2n-1）
=
-n2(1−2n) 1−2
=2 n+1-2-n．
答案解析：（1）由已知得出an+1=Sn+（n+1）当n≥2时，an=Sn-1+n，两式相减并整理、得出an+1=2an+1．（n≥2），并对n=1单独验证．
（2）在an+1=2an+1两边同时加上1得出an+1+1=2（an+1），可以判定{an+1}是等比数列
（3）通过求出数列{an+1} 的通项公式得出数列{an}的通项公式，再求和即可．
考试点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．
知识点：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，数列求和，考查变形构造、转化、计算能力．一般的形如an+1=pan+q型递推公式，均可通过两边加上一个合适的常数，变形构造出一个新的等比数列．