如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,∠ABC=45°,SA=SB,证明:SA⊥BC.

问题描述:

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,∠ABC=45°,SA=SB,证明:SA⊥BC.

证明:作SO⊥BC,垂足是O,连接AO,SO,
∵底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,侧面SBC∩底面ABCD=BC,
∴SO⊥底面ABCD,
又∵OA⊂底面ABCD,OB⊂底面ABCD,
∴SO⊥OA,SO⊥OB,
又 SA=SB,
∴OA=OB,
又∠ABC=45°,
∴OA⊥OB,
∵BC⊥SO,BC⊥AO,SO∩AO=O,
∴BC⊥平面SOA,
又∵SA⊂平面SOA
∴SA⊥BC