如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=SB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥CD;(Ⅱ)求证:平面SCD⊥平面SCE.

问题描述:

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=SB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.

(Ⅰ)求证:EF⊥CD;
(Ⅱ)求证:平面SCD⊥平面SCE.

证明:(Ⅰ)连接AC、AF、BF、EF、∵SA⊥平面ABCD∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线∴AF=12SC(2分)又∵ABCD是正方形∴CB⊥AB而由SA⊥平面ABCD,得CB⊥SA∴CB⊥平面SAB∴CB⊥SB∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线BF=12SC(5分...
答案解析:(Ⅰ)要证明EF⊥CD,而在正方形中CD∥AB,所以可以转化为证明EF⊥AB,而EF与AB在同一个三角形中,只需证明△AFB是等腰三角形即可,而AF、BF分别是Rt△SAC、Rt△SBC斜边SC上的中线,从而易得AF=BF,问题可以得到解决.
(Ⅱ),根据第一问的结论,已经证明了EF⊥CD,根据面面垂直的判定定理,只需再证明EF垂直于与CD相交的一条直线即可,而SC与EF有交点,因而首先考虑SC,在三角形SEC中,容易证明SE=EC,从而得到EF⊥SC,从而问题得到解决.
考试点:直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定.


知识点:本题考查直线与直线的位置关系中的垂直问题以及面面关系中 的垂直问题,注意问题的转化思想,以及前面问题的结论对于后面问题的解决的有利因素,即前面问题的结论可以作为后面问题 的条件直接使用,将会大大提高解题速度.