如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=SB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥CD;(Ⅱ)求证:平面SCD⊥平面SCE.
问题描述:
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=SB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.
(Ⅰ)求证:EF⊥CD;
(Ⅱ)求证:平面SCD⊥平面SCE.
答
知识点:本题考查直线与直线的位置关系中的垂直问题以及面面关系中 的垂直问题,注意问题的转化思想,以及前面问题的结论对于后面问题的解决的有利因素,即前面问题的结论可以作为后面问题 的条件直接使用,将会大大提高解题速度.
证明:(Ⅰ)连接AC、AF、BF、EF、
∵SA⊥平面ABCD
∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线
∴AF=
SC(2分)1 2
又∵ABCD是正方形∴CB⊥AB
而由SA⊥平面ABCD,得CB⊥SA
∴CB⊥平面SAB∴CB⊥SB
∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线
BF=
SC(5分)1 2
∴△AFB为等腰三角形,EF⊥AB又CD∥AB∴EF⊥CD(7分)
(Ⅱ)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE
∴SE=EC即△SEC是等腰三角形∴EF⊥SC
又∵SC∩CD=C∴EF⊥平面SCD又EF⊂平面SCE
∴平面SCD⊥平面SCE(12分)
答案解析:(Ⅰ)要证明EF⊥CD,而在正方形中CD∥AB,所以可以转化为证明EF⊥AB,而EF与AB在同一个三角形中,只需证明△AFB是等腰三角形即可,而AF、BF分别是Rt△SAC、Rt△SBC斜边SC上的中线,从而易得AF=BF,问题可以得到解决.
(Ⅱ),根据第一问的结论,已经证明了EF⊥CD,根据面面垂直的判定定理,只需再证明EF垂直于与CD相交的一条直线即可,而SC与EF有交点,因而首先考虑SC,在三角形SEC中,容易证明SE=EC,从而得到EF⊥SC,从而问题得到解决.
考试点:直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定.
知识点:本题考查直线与直线的位置关系中的垂直问题以及面面关系中 的垂直问题,注意问题的转化思想,以及前面问题的结论对于后面问题的解决的有利因素,即前面问题的结论可以作为后面问题 的条件直接使用,将会大大提高解题速度.