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数列{an}满足a1=4，an=4-4/an−1（n≥2），设bn=1/an−2．（1）判断数列{bn}是否为等差数列并证明；（2）求数列{an}的通项公式．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 18:00:12

问题描述：

数列{a_n}满足a₁=4，a_n=4-

4

an−1

（n≥2），设b_n=

1

an−2

．
（1）判断数列{b_n}是否为等差数列并证明；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

答

（1）数列{b_n}是等差数列，证明如下：
∵数列{a_n}满足a₁=4，a_n=4-

4

an−1

（n≥2），
∴a_n-2=2-

4

an−1

=2×

an−1−2

an−1

，
∴

1

an−2

＝

1

2

+

1

an−1−2

，
∵b_n=

1

an−2

，
∴b_n-b_n-1=

1

2

，
∴数列{b_n}是公差为

1

2

的等差数列．
（2）∵b1＝

1

a1−2

=

1

2

，
∴b_n=

1

2

+(n−1)×

1

2

=

n

2

，
∴

1

an−2

=

n

2

，
∴a_n=

2

n

+2．