F1F2分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a﹥b﹥0)的左,右焦点
问题描述：
F1F2分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a﹥b﹥0)的左,右焦点
,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与圆C的另一个交点,角F1AF2=60度
求：已知三角形AF1B面积为40√3,求a、b值
答
由题意知A为椭圆上或下顶点,不妨设A为上顶点,以F1,F2所在直线为x轴,F1,F2的中点O为原点建立平面直角坐标系,依题意有∠F2AO=60°/2=30°
所以c/a=1/2,b/a=√3 /2.b^2=3/4a^2,c=1/2a
所以椭圆的方程变形为x^2/a^2+y^2/[(3/4)*a^2]=1,直线AF2的方程为y=-√3（x-1/2a)
由题意知△AF1F2为边长为a的正三角形,所以F1到直线AF2的距离为√3a/2
S△ABF1=1/2*|AB|*√3a/2=40√3,所以|AB|=160
把直线AF2的方程代入椭圆方程整理得：5x^2-4ax=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
所以x1+x2=4a/5,x1*x2+0
所以|AB|²=[1+(-√3）^2][(x1+x2)^2-4x1*x2]=64a^2/25=160^2
所以a=100,所以b=50√3.